Exercicío 7.2.22

Suponha $f(x)$ seja tal função.

Observe que cada $A_{n}=f([-n,n])$ é um conjunto compacto, com $\cup A_{n}=\mathbb{R}^n$. Pelo teorema da categoria de Baire, existe um tal $A_{n}$ que contém uma bola fechada $B$. Por $[-n,n]$ ser compacto, a imagem de qualquer subconjunto relativamente fechado de $[-n,n]$ é compacto e, portanto, fechado. Por isso $f^{-1}$ é contínuo quando restrito a $A_{n}$ e, portanto, quando restrito a $B$. Então, em particular $f^{-1}(B)$ é um subconjunto conexo de $\mathbb{R}$. Uma vez que todos os subconjuntos conexos de $\mathbb{R}$ são intervalos, $f^{-1}(B)$ é um intervalo fechado $I$.

Seja ${x}$ qualquer ponto no interior de $B$ de tal modo que $f^{-1}(x)$ não é um ponto final de $I$. Então $B-{x}$ ainda é conexo, mas $f^{-1} (B-{x})$ é a união de dois intervalos disjuntos, que não são conexos. Pois $f^{-1}$ quando restrito a $B-{x}$ é contínuo, você tem uma contradição.