Nessa seção, traremos a caracterização de função contínua por sequência e suas propriedades, estaremos utilizando a definição de sequência introduzida em Sequências convergentes
Antes de iniciar é necessário apresentar o espaço chamado de espaço das sequências convergentes:
O conjunto $( \mathbb{N} \cup \{\infty\}, \tau) $ com a topologia $ \tau $ dada por :
É chamado de espaço das sequências convergentes.
Note que $ \infty$ é apenas uma notação, podemos trocá-lo por qualquer outro símbolo. Além disso a sequência $n \rightarrow \infty $ em $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$, com $n \in \mathbb{N}$:
De fato, tome $V$ aberto tal que $\{ \infty \} \subset V \Leftrightarrow V^c$ é finito $\Leftrightarrow \ \exists n_0$ tal que $\forall n \geqslant n_0 \ n \in V$, portanto $n \to \infty$.
Agora estamos aptos para ver a primeira caracterização de função contínua por sequências, note que essa caracterização é para apenas funções com domínio no espaço de sequências convergentes.
Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $f:\mathbb{N} \cup \{\infty\} \to X$. Então $f$ é contínua se e somente se $f(n) \to f(\infty)$.
Demonstração:
Suponha $f$ contínua, provaremos que $f(n) \to f(\infty)$.
Seja $V$ aberto tal que $f(\infty) \in V$, então como $f$ é contínua, temos que $f^{-1}[V]$ é aberto e $\infty \in f^{-1}[V]$, então pela definição de $\tau$, ${(f^{-1}[V])}^c$ é finito, isto é, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que, para todo $n \geqslant n_0$ temos $ n \in f^{-1}[V]$ . Portanto para todo $n \geqslant n_0 $, $f(n) \in V$, note que provamos exatamente que $f(n) \to f(\infty)$.
Agora suponha que $f(n) \to f(\infty)$, provaremos que $f$ é contínua.
Tome $n \in \mathbb{N}$, seja $V$ vizinhança aberta de $f(n)$, tome $W = \{n\}$, como $W \in \tau$, $W$ é vizinhança aberta de $n$, e $f[W] \subset V$, logo $f$ é contínua em $n$. Agora seja $A$ aberto tal que $f(\infty) \in A$, por hipótese, existe um $n_0$ tal que para todo $n \geqslant n_0$ $f(n) \in A$, considere $B = \{\infty\} \cup \{n: n \geqslant n_0\}$, note que $B \in \tau$, e ainda $f[B] \subset A$, logo $f$ é contínua em $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$, como queríamos.
$f^{-1}[V]$ está denotando a imagem inversa do conjunto $V$
A próxima proposição, intuitivamente, nos diz que continuidade “empurra” convergência, isto é, convergência no domínio de $f$ contínua $\Rightarrow$ convergência na imagem de $f$.
Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$ espaços topológicos, $f: X \to Y$ contínua e $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sequência de pontos de $X$ tal que $x_n \to x \in X$, então, $f(x_n) \to f(x)$
Demonstração:
Considere $h: \mathbb{N} \cup \{\infty\} \to X $ dada por $h(n) = x_n $ para todo $n \in \mathbb{N}$ e $h(\infty) = x$, onde $x_n$ e $x$ são os mesmos do enunciado, note que, pela proposição anterior $h$ é contínua, pois $h(n)= x_n \to x = h(\infty)$, com isso $f \circ h:\mathbb{N} \cup \{\infty\} \to Y$ é contínua, por ser composição de funções contínuas, logo também pela proposição anterior temos, $f \circ h(n) \to f \circ h(\infty)$, note que $ f \circ h(n)=f(x_n) $ e $f \circ h(\infty) = f(x) $, provando então o que queríamos.
A próxima proposição nos dá a caracterização “mais usual” de funções contínuas por sequências, note que para isso, teremos que adicionar uma hipótese sobre o domínio da função.
Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$ espaços topológicos, onde $(X, \tau)$ possui bases locais enumeráveis. Seja $f: X \to Y$, então $f$ é contínua em $x$ se e somente se para toda $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sequência de pontos de $X$ tal que $x_n \to x \in X$, temos , $f(x_n) \to f(x)$
Demonstração:
Note que se $f$ é contínua em $x$ e $x_n \to x \in X$, pela proposição anterior temos que, $f(x_n) \to f(x)$.
Reciprocamente, suponha que para toda $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sequência de pontos de $X$ tal que $x_n \to x \in X$, temos , $f(x_n) \to f(x)$, provemos que $f$ é contínua.
Seja $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ base local decrescente de $x$ , suponha, por absurso, que $f$ não seja contínua em $x$, então existe um $A$ aberto em $Y$ tal que $f(x) \in A$ e para todo $n$ existe $x_n \in V_n$ tal que $f(x_n) \notin A$, porém note que construímos uma sequência tal que $x_n \to x $, de fato, dado $W$ aberto em $X$, com $x \in W$, como $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é base local para $x$, existe $n_0$ tal que $x \in V_{n_0} \subset W$, como a base é decrescente, para todo $n \geqslant n_0 \ x_n \in V_n \subset V_{n_0} \subset W$, logo $x_n \to x $, assim, por hipótese, temos que $f(x_n) \to f(x)$, então como $f(x) \in A$ aberto, existe $n_1$ tal que para todo $n \geqslant n_1$ $f(x_n) \in A$, o que é uma contradição com o que tínhamos anteriormente ($ \forall n \ \exists x_n \in V_n$ tal que $f(x_n) \notin A$). Portanto $f$ é contínua em $x$.