Seja $f\colon X\to X$ um mapa. Um ponto $x$ de $X$ é um ponto fixo de $f$ se $f(x)=x$.
Seja $X$ um espaço Hausdorff. Então existe um único mapa contínuo $f\colon X\to X$ tal que, para cada $x\in X$ e cada $U\in\mathsf{Open}(X)$ com $U\ni x$, existe $y\in U$ ponto fixo de $f$.
Demonstração. Note que o mapa identidade $\mathrm{id}_X$ de $X$ satisfaz a propriedade do enunciado. Conversamente seja $f\colon X\to X$ um mapa como no enunciado. Como $X$ é Hausdorff, segue que para todo $x\in X$, a intersecção da família $\mathcal{N}_x$ de todas as vizinhanças fechadas de $x$ é $\{x\}$. Como $f$ é contínua, temos que a intersecção das imagens dos elementos de $\mathcal{N}_x$ por $f$ é $f(x)$. Temos necessariamente então $f(x)=x$ pela condição de ponto-fixo de $f$.