Definição: Fecho e interior
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. O fecho de $A$ é definido como $\bar{A}=\bigcap_{F \in \mathcal F} F$, onde $\mathcal F = \{F \subset X : F \textrm{ é fechado e } A \subset F \}$.
O interior de $A$ é definido como $Int(A)=\bigcup_{V \in \mathcal V} V$ onde $\mathcal V = \{ V \subset X : V \textrm{ é aberto e } V \subset A \}$.
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. Mostre que $\bar{A} = \{x \in X : x \textrm{ é ponto aderente de } A \}$.
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A,B \subset X$. Mostre que:
Se $A \subset B$, então $\overline{A} \subset \overline{B}$
$\overline{\overline{A}}=\overline{A}$
$\overline{A}=A$ se, e somente se, $A$ é fechado.
Considere um conjunto $X$ com a topologia discreta.
Mostre que se todo subconjunto $A$ de $X$ é fechado, então $\overline{A}=A$
Mostre também que $Int(A)=A$
Mostre que, em $\mathbb{R}$, $\overline{[a,b[}=[a,b]$
Mostre que, na reta de Sorgenfrey, $\overline{[a,b[}=[a,b[$
Mostre que, em $\mathbb{R}$, $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ e $Int(\mathbb{Q})=\emptyset$
Definição: Ponto de Fronteira
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. Dizemos que $x \in X$ é um ponto de fronteira de $A$ se para todo $V \subset X$ aberto tal que $x \in V$, temos $V \cap A \neq \emptyset$ e $V \cap (X \ A) \neq \emptyset$
Mostre que, em $\mathbb{R}$, $\partial [a,b[={a,b}$
E mostre quem na reta de Sorgenfrey $\partial [a,b] =\emptyset$
Mostre também que a igualdade acima vale de modo geral.
Mostre que, em $\mathbb{R}$, $\partial \mathbb{Q}=\mathbb{R}$
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Mostre que são verdadeiras:
$X,\emptyset$ são fechados
Se $F,G \subset X$ são fechados, então $F \cup U$ é fechado
Se $\mathcal{F}$ e uma família não vazia de fecahdos, então $\bigcap_{F\in\mathcal{F}}F$ é um fechado
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. Dizemos que $x \in X$ é um ponto interior de $A$ se existe $V$ aberto tal que $x \in V \subset A$. Mostre que $Int(A)=\{x\in X: x$ é um ponto interior de $A\}$
Mostre o caso análogo para o interior para a seguinte Proposição:
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. Mostre as seguintes afirmações:
$\partial A = \overline{A} \cap \overline{X\backslash A}$
$Int(A) \cap \partial A = \emptyset$
$\partial A = \overline{A} \backslash Int(A)$
$\overline{A} = A \cup \partial A$
Mostre que a fronteira de um conjunto sempre é fechada.
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $Y \subset X$ subespaço. Mostre que $F \subset Y$ é fechado em $Y$ se, e somente se, existe $F' \subset X$ fechado em $X$ tal que $F = F' \cap Y$
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $Y \subset X$ subespaço fechado. Mostre que $F \subset Y$ é fechado em $Y$ se, e somente se, $F$ é fechado em $X$
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $Y \subset X$ subespaço aberto. Mostre que $F \subset Y$ é aberto em $Y$ se, e somente se, $F$ é aberto em $X$