Nem sempre teremos funções contínuas para trabalhar, mas às vezes podemos contornar este problema estendendo essas funções, de maneira a “eliminar” os pontos de descontinuidade.
Dados $X, Y$ espaços topológicos, seja $A\subset X$ e $f:A\rightarrow Y,~g:X\rightarrow Y$ funções contínuas. Dizemos que $g$ é extensão contínua de $f$ se $g|_{A}=f|_{A}.$
$$~$$ Entretanto nem sempre temos a existência de tal extensão contínua. Abaixo podemos ver um exemplo simples onde isso acontece.
Considere a função $f:\mathbb{N}\rightarrow [0,1]$ definida por:
$f(n)=\begin{cases}1~~~\text{se} ~n~\text{é par}, \\ 0~~\text{se}~n~\text{é ímpar}.\end{cases}$
Pela definição do espaço das sequências convergentes, sabemos que $\infty$ é “ponto de acumulação” de $\mathbb{N},$ desta forma $\mathbb{N}$ é denso em $\mathbb{N}\cup \{\infty\}$. É fácil ver que $f$ é contínua, pois estamos considerando a topologia discreta, então o conjunto dos números ímpares e o dos números pares serão abertos em $\mathbb{N}.$ Suponha por absurdo que exista uma extensão contínua $g:\mathbb{N}\cup \{\infty\}\rightarrow [0,1]$ para $f$. Mas $\lim_{n\rightarrow \infty}f(n)$ não converge, logo $\lim_{n\rightarrow \infty}g(n)$ não existe, contrariando a continuidade de $g$.
Nesta seção foram usados resultados da seção anterior.