Considere a relação $x$ ~$y$ dada por “existe um caminho de $x$ para $y$”. Vamos demonstrar essa afirmação com algumas proposições.
Ser conexo por caminhos é um invariante topológico. Demonstração
Considere a relação $x$~$y$ dada por existe um caminho de $x$ para $y$. Então ela é uma relação de equivalência. Demonstração
Fixado $x$, o conjunto $\{y:$ existe um caminho de $x$ para $y\}$ é exatamente o conjunto dos $y$'s equivalentes a $x$ por ~. Chamamos tal conjunto de componente conexa por caminhos de $x$. Demonstração
A componente conexa por caminhos de um ponto é sempre fechada? Demonstração
A componente conexa por caminhos de um ponto é sempre aberta. Demonstração