Note, primeiramente, que $\mathbb{R}$ não é compacto pois a cobertura aberta $\mathcal{C} = \{ ]-n,n[\;: n\in \mathbb{N}\}$ não admite subcobertura finita. Entretanto, perceba que, para cada $x\in\mathbb{R}$, o conjunto $$\left\{ \left[x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right] : n\in\mathbb{N}\right\}$$ é um sistema fundamental de vizinhanças compactas de $x$. De fato, para cada $n \in \mathbb{N}$, existe um homeomorfismo $f: \left[x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right] \to [0,1]$ dado por $$f(y)=\frac{ny-nx+1}{2}.$$ Como $[0,1]$ é compacto e a compacidade é um invariante topológico, $\left[x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right]$ é compacto. Portanto, $\mathbb{R}$ é localmente compacto.