Seja $V_{\infty}$ uma vizinhança de $\infty$. Então, existe $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que $B_f \subset V_{\infty}$. Considere a função $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definida por $g(m) = f(m) + 1$, para todo $m \in \mathbb{N}$. Então, $B_g \subset B_f \subset V_{\infty}$. Mas, então, $B_g \cup \{\{x\}:x \in V_{\infty} - B_g\}$ é uma cobertura aberta de $V_{\infty}$ que não admite subcobertura finita e, portanto, $\infty$ não admite sistema local de vinhanças compactas.