Sejam $\mathcal{O}$ uma cobertura aberta não enumerável do espaço do ventilador enumerável $V$ e $\mathcal{O}_{\infty} = \{U \in \mathcal{O}\;:\;\infty \in U\}$. A prova será dividida em dois casos:

1. $\mathcal{O}_{\infty}$ enumerável: para cada $x \neq \infty$ tome um aberto $A \subset \mathcal{O}$ tal que $x \in A$. Assim, obtemos uma subcobertura enumerável.
2. $\mathcal{O}_{\infty}$ não-enumerável: considere $\mathcal{B}' = \{B_f \in \mathcal{B}\;:\;B_f \subset U \quad para \quad algum \quad U \in \mathcal{O}_{\infty}\}$. Defina, para cada $m \in \mathbb{N}$, $n_m = min\{n\;:\;a_{m,n} \in B_f \quad para \quad algum \quad B_f \in \mathcal{B}'\}$ e tome $f_m: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que $a_{m,n_m} \in B_{f_m} \in \mathcal{B}'$. Sejam $\mathcal{O}_m = \{U \in \mathcal{O}\;:\;B_{f_m} \subset U\}$ uma subcoleção de $\mathcal{O}$ e $U_m = \bigcup_{U \in \mathcal{O}_m}U$ o aberto gerado por ela. Então, para cada $x \in (U_m - B_{f_m})$, podemos tomar um elemento $E_x \in \mathcal{O}_m$ tal que $x \in E_x$, construindo, dessa forma, uma subcobertura $\mathcal{O}_m' \subset \mathcal{O}_m$ de $U_m$ que é no máximo enumerável. Repetindo o procedimento para todo $m \in \mathbb{N}$ obtemos uma subcobertura $\mathcal{O}' \subset \mathcal{O}$ tal que $\mathcal{O}_{\infty}'$ é enumerável. Daí, basta aplicarmos o primeiro caso. Assim, obtemos o resultado.