• Vamos mostrar que $\tilde{(0,0)}$ não admite base local enumerável, notemos que para cada função $f: \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}$, que gera uma determinada sequência do ventilador, tem o seguinte conjunto como uma vizinhança aberta de $\tilde{(0,0)}$:

$$A_f = \{\tilde{(0,0)}\}\cup\{\tilde{(r,\frac{1}{k})}: r \in \mathcal{R}, k \geq f(r) \text{ e } k \in \mathbb{N}\}$$

• Notemos agora que $\{A_f : f: \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}\}$ é uma base local para $\tilde{(0,0)}$, assim vamos supor que $(B_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma base enumerável para $\tilde{(0,0)}$, portanto existe $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $\{A_{f_n} : n \in \mathbb{N}\}$ é uma base para $\tilde{(0,0)}$, assim consideremos $g: \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}$ dada por :

$$g(k) = \{\max{f_i(k):i\leq k} + 1\}$$

• Notemos assim que o ponto $\displaystyle (r,\frac{1}{f_n(r) + 1}) \in A_{f_n} \setminus A_g$, com isso $A_{f_n} \not\subset A_g$ para todo $n \in \mathbb{N}$ e portanto $\{A_{f_n} : n \in \mathbb{N}\}$ não é uma base, assim, não existem bases locais enumeráveis para $\tilde{(0,0)}$ $\square$