Como $C([0,1],\mathbb{R})$ com a norma do supremo é espaço métrico, foi visto durante o curso que tal espaço é normal. Além disso, vimos que, se $(X,\tau)$ é espaço topológico: $$X\text{ normal}\Rightarrow X\text{ regular}\Rightarrow X\text{ Hausdorff}\Rightarrow X\text{ é }T_1\Rightarrow X\text{ é }T_0$$ e como todo espaço normal em particular é $T_4$ e todo espaço regular é em particular $T_3$, temos o desejado.