Dado um espaço vetorial real normado $V$, então $$B_r(p)=\{v\in V:|v-p|<r\}$$ é um conjunto convexo para todo $p\in V$ e $r>0$.
Demonstração: Dados $u,v\in B_r(p)$ e $t\in [0,1]$: $$|tu+(1-t)v-p|=|t(u-p)+(1-t)(v-p)|\le |t(u-p)|+|(1-t)(v-p)|=t|u-p|+(1-t)|v-p|<tr+(1-t)r=r$$ e portanto $tu+(1-t)v\in B_r(p)$. $_{\blacksquare}$
$C([0,1],\mathbb{R})$ com a norma do supremo é localmente conexo por caminhos. Em particular, é localmente conexo.
Demonstração: Dada $f\in C([0,1],\mathbb{R})$, pelo lema anterior, basta considerar a família $$\{B_r(f):r>0\}$$ que é uma base local e seus elementos são convexos, e logo conexos por caminhos.