$C([0,1],\mathbb{R})$ com a norma do supremo é um espaço topológico de Lindelöf, i.e., toda cobertura aberta admite subcobertura enumerável.
Tal fato é consequência imediata do seguinte lema.
Todo espao métrico separável é espaço de Lindelöf.
Demonstração: Seja $(X,d)$ espaço métrico separável, $\{x_n:n\in \mathbb{N}\}\subset X$ denso e considere uma cobertura aberta $\mathcal{C}$ de $X$. Seja
$$\mathcal{C}':=\{U\in \mathcal{C}:\exists n\in \mathbb{N},q\in \mathbb{Q}_{>0},\ B_q(x_n)\subset U\}$$
e seja $\mathcal{C}''\subset \mathcal{C}'$ tal que $U_1,U_2\in \mathcal{C}'$ e $B_q(x_n)\subset U_1\cap U_2\Rightarrow U_1=U_2$.
Mostraremos que $\mathcal{C}''$ é cobertura de $X$; de fato, dado $p\in X$ e $U\in \mathcal{C}$ com $p\in U$; como $U$ é aberto, então $$B_r(p)\subset U$$ para algum $r>0$. Escolha um $x_n\in B_{r/2}(p)$ e $q\in \mathbb{Q}_{>0}$ com $d(x_n,p)<q<\frac{r}{2}$; logo $p\in B_q(x_n)$, e para todo $x\in X$: $$d(x,x_n)<q\Rightarrow d(x,p)\le d(x,x_n)+d(x_n,p)<2q<r$$ donde $p\in B_q(x_n)\subset B_r(p)\subset U$, donde $U\in \mathcal{C}'$ e $p\in B_q(x_n)\subset V$ for some $V\in \mathcal{C}''$. Portanto $\mathcal{C}''\subset \mathcal{C}$ é cobertura de $X$; além disso, $\mathcal{C}''$ é claramente enumerável, e temos $(X,d)$ espaço de Lindelöf. $_{\blacksquare}$