Seja $\mathcal{B}$ uma base para a topologia de $\mathbb{R}_{S}$. Vamos mostrar que a cardinalidade de $\mathcal{B}$ deve ser no mínimo $\mathfrak{c}$. Note que para cada $x \in \mathbb{R}$, $[x, x+1[$ é aberto. Como $\mathcal{B}$ é base, existe $\mathcal{B}_{x} \in \mathcal{B}$ tal que $x \in \mathcal{B}_{x} \subset [x,x+1[$. Defina $f : \mathbb{R} \to \mathcal{B}$ dada por $f(x) = \mathcal{B}_{x}$. Mostremos que $f$ é injetora. De fato, sem perda de generalidade, suponha que $x < y$, então $f(y) = \mathcal{B}_{y} \subset [y, y+1[$, e como $x \notin [y, y+1[$, temos que $x \notin f(y)$. Como $x \in f(x)$, então $f(x) \neq f(y)$.