Queremos provar que a topologia $X$ satisfaz a condição de $T_{2}$ (Hausdoff).
Então por definição tomamos dois pontos da reta distintos $x,y \in \mathbb{R}$, é verdade que $∃$ uma distância positiva $d(x,y)>0$ tal que $\varepsilon : d(x,y)= \varepsilon >0 \in \mathbb{R}$.
Tomamos dois abertos $A,B$ tal que:
Portanto, se tomarmos $A ∩ B = U_{x} ∩ U_{y} = \varnothing$, isto implica que a topologia X é $T_{2}$(Hausdorff), como queríamos mostrar.