Com efeito, vejamos que um elemento básico do produto, digamos $E_1 \times \ldots \times E_n$, onde $E_i \subset \mathbb{R}$ é aberto, é aberto na topologia induzida pela métrica dada por $$d((x_1,x_2,\ldots,x_n),(y_1,y_2,\ldots,y_n))= \max \lbrace |x_1-y_1|,|x_2-y_2|,\ldots,|x_n-y_n| \rbrace.$$ Dado $x=(x_1,\ldots,x_n) \in E_1 \times \ldots \times E_n$, então existem $\delta_1,\ldots,\delta_n \in \mathbb{R}_{>0}$ tais que $(x_i-\delta_i,x_i+\delta_i) \subset E_i$, para todo $i=1,\ldots,n$. Sendo $\delta=\min \lbrace \delta_i \rbrace_{i=1}^n$, então $B_{\delta}(x) \subset E_1 \times \ldots \times E_n $. De fato, dado $y=(y_1,\ldots,y_n)$, então é fácil ver que $y \in B_{\delta}(x)$ se e somente se $y_i \in (x_i-\delta_i,x_i+\delta_i)$ para todo $i=1,\ldots,n$. Ou seja, $B_{\delta}(x)=(x_1-\delta_1,x_1+\delta_1) \times \ldots \times (x_n-\delta_n,x_n+\delta_n) \subset E_1 \times \ldots \times E_n$ e $E_1 \times \ldots \times E_n$ é aberto na topologia induzida pela métrica. Isto é, a topologia produto de $\mathbb{R}^n$ está contida na topologia induzida pela métrica $d$. Reciprocamente, como a topologia induzida pela métrica é a topologia gerada bolas bolas abertas, e conforme vimos, as bolas abertas são produtos de intervalos abertos, então segue a inclusão contrária.