Vamos mostrar que todo intervalo é conexo por caminhos, em particular $\mathbb{R}$ é conexo por caminhos. Seja $A \subset \mathbb{R}$ um intervalo.

1º caso: $A = [a, b]$.

Sejam $x, y \in [a,b]$, podemos supor, sem perda de generalidade que $x \leq y$, então para todo $t \in [0,1]$ $$ a \leq x = (1 - t)x + tx \leq (1 - t)x + ty \leq (1 - t)y + ty = y \leq b.$$ Logo, $f : [0, 1] \to [a,b]$ dada por $f(t) = (1-t)x + ty$ é um caminho de $x$ para $y$. A demonstração é análoga para os casos: $A = (a,b]$, $A = [a, b)$ e $A = (a,b)$.

2º caso: $A = (-\infty, b]$.

Sejam $x,y \in (-\infty, b]$, supondo que $x \leq y$, para todo $t \in [0,1]$ temos $$-\infty < x = (1 - t)x + tx \leq (1 - t)x + ty \leq (1 - t)y + ty = y \leq b.$$ De onde segue que $f : [0, 1] \to (-\infty, b]$ dada por $f(t) = (1-t)x + ty$ é um caminho de $x$ para $y$. Analogamente para os casos: $A = (-\infty, b)$, $A = (a, \infty)$, $A = [a, \infty)$ e $\mathbb{R} = (-\infty, \infty)$.