Se um espaço topológico é completamente regular (\(T_{3\frac{1}{2}}\) e \(T_1\)), então ele também é regular (\(T_3\) e \(T_1\)) (veja Todo espaço completamente regular é regular.). A recíproca não vale, e aqui vamos construir um exemplo de um espaço regular, mas não completamente regular. Esse exemplo foi retirado de [1].

Sejam \(S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0\le y\le 2\}\), e \(p\in \mathbb{R}^2 \setminus S\). O conjunto a ser utilizado na construção será \(X=S\bigcup \{p\}\).

Para cada \(x\in \mathbb{R}\), \(n\in \mathbb{N}\), considere os conjuntos:

\(D_x=\{(t,t-x)\in S: x\le t \le x+2\}\)

\(V_x=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:(x,y)\in S\}\)

\(A_x=D_x\bigcup V_x\)

\(U_n=\{(x,y)\in S: x\ge n\}\)

\(I_n=[n,n+1] \times \{0\}\)

Considere sobre \(X\) a topologia \(\tau\) gerada pelos conjuntos da forma:

1. \(\{(x,y)\}\), onde \((x,y)\in S\) e \(y>0\);
2. \(A_x\setminus F\), onde \(F\) é um conjunto finito;
3. \(\{p\} \bigcup U_n\).

É fácil ver que a coleção acima é uma base para a topologia \(\tau\) — basta verificar que essa coleção satisfaz as hipóteses do exercício 1.1.83 (LINKAR). Vamos chamar essa coleção de \(\mathcal{B}\).

\(\\\) \(\\\)

• Bases locais do espaço topológico
• Alguns pontos não têm base local enumerável
• Não tem base enumerável
• Não é separável

• Satisfaz $T_{0}$. (Kolmogorov)
• Satisfaz $T_{1}$. (Fréchet)
• Satisfaz $T_{2}$. (Hausdorff)
• Satisfaz $T_{3}$ e é regular.
• Não satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$, logo não é completamente regular.
• Não satisfaz $T_{4}$ e não é normal.

• Não é compacto (ver Todo compacto de Hausdorff é normal).
• Não é localmente compacto (ver Compacidade local, onde se mostra que localmente compacto e Hausdorff implicam completamente regular).
• Não é de Lindelöf (ver referência [2], teorema 2.1.56, onde se mostra que Lindelöf e regular implicam normal).
• Não é paracompacto (ver Paracompactos, onde se mostra que todo paracompacto de Hausdorff é normal).

• Não é conexo
• Não é localmente conexo
• Não é conexo por caminhos porque não é conexo.
• Não é localmente conexo por caminhos

• O conjunto \(S\subset X\) é zero-dimensional, logo completamente regular
• Não é contrátil (pois contrátil implica conexo por caminhos).
• Não é metrizável porque não é $T_4$ (ver Todo espaço métrico é normal).
• Não é completamente metrizável porque não é $T_4$.
• É espaço de Baire
• Não é zero-dimensional
• Não é ccc

[1] A. MYSIOR. A regular space which is not completely regular. Proceedings of the American Mathematical Society; Volume 81, Number 4, April 1981.

[2] Leonardo Henrique Caldeira Pires Ferrari, Aspectos da Topologia e da Teoria dos Pontos Fixos. Dissertação de mestrado; Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro - Junho de 2017.