Lembre-se que \(S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0\le y\le 2\}\), \(p\in \mathbb{R}^2 \setminus S\) e \(X=S\bigcup \{p\}\).

A topologia \(\tau\) sobre \(X=S\bigcup \{p\}\) é a gerada pela coleção \(\mathcal{B}\) de conjuntos da forma:

1. \(\{(x,y)\}\), onde \((x,y)\in S\) e \(y>0\);
2. \(A_x\setminus F\), onde \(F\) é um conjunto finito;
3. \(\{p\} \bigcup U_n\).

A coleção \(\mathcal{B}\) é base para a topologia porque satisfaz as hipóteses do exercício 1.1.83.

• Note que qualquer aberto \(B\) que contenha o ponto \((x,0)\) pode ser escrito como união dos elementos de uma família \(\mathcal{A} \subset \mathcal{B}\). Como \((x,0)\in B= \underset{A\in \mathcal{A}}{\bigcup} A\), temos \((x,0)\in A \subset B\) para algum \(A\in \mathcal{A}\), e esse \(A\) deve ser do tipo (2) ou do tipo (3). Note que, se \(A\) é do tipo (2), temos \(A=A_x\setminus F\) onde \(F\) é finito e não contém \((x,0)\), e vale \((x,0)\in A_x \setminus F \subset B\). Se \(A\) é do tipo (3), temos que \((x,0)\in U_n \subset B\) para algum \(n\leq x\), então \((x,0)\in A_x\subset U_n \subset B\). Nos dois casos, note que existe um aberto da forma \(A_x\setminus F\), com \(F\) finito e que não contém \((x,0)\), tal que o seguinte sanduíche ocorre: \((x,0)\in A_x\setminus F \subset B\). Isso prova que os abertos desse tipo (\(A_x \setminus F\) com \((x,0)\notin F\), $F$ finito) formam uma base local para \((x,0)\).
• De maneira semelhante (e mais simples), podemos concluir que os abertos da forma \(\{p\}\bigcup U_n\) formam uma base local para \(p\).
• Note que \((x,y)\) com \(y>0\) é isolado em \(X\), já que \(\{(x,y)\}\) é aberto.