Considere $D = \{ (x,-x) : x \in \mathbb R_S \}$. Note que

• $D$ é discreto, pois os conjuntos da forma $[x,x+1[ \cap [-x,-x+1[ \cap D = \{(x,-x)\}$ são abertos em $D$ (intuitivamente, em todo ponto de $D$, existe um aberto que só “encosta” nele);
• $D$ é fechado, pois $\mathbb R_S \times \mathbb R_S \setminus D$ é aberto. De fato, tomando $(x,y) \notin D$, se $y>-x$, então existe o aberto $A =[x,x+1[ \times [y,y+1[$ tal que $A \cap D = \emptyset$ e se $y < -x$, considere $\epsilon>0$ a distância de $(x,y)$ a $D$, então existe o aberto

$$A = \left[x,x+\frac{\sqrt 2\varepsilon}{2}\right[ \times \left[y,y+\frac{\sqrt 2\varepsilon}{2}\right[$$ tal que $A \cap D = \emptyset$;

• $|D| = |\mathbb{R}| = \mathfrak c$.

Portanto, como $\mathbb R_S \times \mathbb R_S$ é separável e possui um discreto fechado de tamanho contínuo, então, pelo Lema de Jones, $\mathbb R_S \times \mathbb R_S$ não é normal.