O Espaço do Pente sem a origem é a união das partes positivas dos eixos $x$ e $y$ de $\mathbb{R}^2$ (sem incluir a origem, é claro), mais a parte acima do eixo $x$ das semirretas verticais $x=\frac{1}{n}$, para cada $n \in \mathbb{N}$. Isso é ilustrado na figura abaixo (toda a parte azul).

Mais precisamente, sejam $A = \{ (\frac{1}{n}, y) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ y \geq 0, n \in \mathbb{N} \} \cup \{(x,0) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ x > 0 \}$ e $B = \{(0,y) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ y > 0 \}$, então o Espaço do Pente é definido pelo conjunto $X = A \cup B \subset \mathbb{R}^2$ munido da topologia induzida pela métrica de $\mathbb{R}^2$.

• Satisfaz $T_0$;
• Satisfaz $T_1$;
• Satisfaz $T_2$;
• Satisfaz $T_3$ e é regular;
• Satisfaz $T_{3 \frac{1}{2}}$ e é completamente regular;
• Satisfaz $T_4$ e é normal.

Demonstração

• Possui base local enumerável;
• Possui base enumerável;
• É Separável.

Demonstração

• Não é compacto;

Demonstração

• É conexo;
• Não é conexo por caminhos.

Demonstração