Note que $(P, \tau)$ satisfaz $T_1$, logo basta mostrar que $(P, \tau)$ satisfaz $T_3$.
Tomemos então $p_1 \in P$ e $F \subset P$ fechado em $P$ e $p_1 \notin F$, como $F$ é fechado em $P \subset \mathbb{R}^2$ , existe um conjunto fechado $F' \subset \mathbb{R}^2$, na topologia usual, tal que $F = F' \cap P$, como $\mathbb{R}^2$ é $T_3$, existem abertos disjuntos $V,U \subset \mathbb{R}^2$ tais que $p_1 \in V$ e $F' \subset U$, note que $V \cap P$ e $U \cap P$ são abertos em $P$, e além disso $p_1 \in V \cap P$ e $F = F' \cap P \subset U \cap P$, logo separamos o ponto $p_1$ do conjunto fechado $F$, isto é, provamos que $(P, \tau)$ é $T_{3}$, logo ele é regular.