Demonstração. $(\Longleftarrow)$ Suponha $X$ finito, então cada $f: X\rightarrow \mathbb{R}$ é contínua. Logo $C_{p}(X)=\mathbb{R}^{n}$, onde $n$ é o número de elementos de $X$.

$(\Longrightarrow)$ Suponha $C_p(X)$ loaclmente compacto, e $U$ uma vizinhança compacta de $0.$ Então existe $V(0, A, \varepsilon)$ vizinhança aberta básica de $0$ tal que $0\in V\subseteq U.$ Suponha $y\in X\backslash A.$ Considere a função

$$\phi_{y}: C_{p}(X)\rightarrow \mathbb{R}$$ $$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f\mapsto \phi_y(f)=f(y)$$ que é contínua desde que estamos considerando a convergência pontual. Como $U$ é compacto, vale que $\phi_y(U)$ é compacto e, como é um subconjunto de $\mathbb{R},$ segue que $\phi_{y}(U)$ é limitado. Logo existe $k\in \mathbb{R}$ tal que $|\phi_y(f)|< k$ para todo $f\in U.$ Escolha $g\in C_p(X)$ tal que $g(A)=0$ e $g(y)=k.$ Vale que $g\in V\subseteq U,$ mas $\phi_y(g)=k,$ absurdo! Logo $X=A$ é finito. Em particular $C_{p}([0,1])$ não é localmente compacto. Em particular $C_{p}([0,1])$ não é localmente compacto. $~~~~~~~~\square$