Queremos provar que a topologia induzida sobre $P_1=\{(x,y):x,y \in \mathbb{R},y>0\} \subset P$ por $P$ e $\mathbb{R}^2$ é a mesma.

Se $B_{\varepsilon} (x,y)$ com $0 < \varepsilon <y$ é um aberto básico de $P_1$ com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$, então a união desses abertos de $P_1$ é aberta e é aberta em $\mathbb{R}^2$.

Agora, todo aberto $A=\cup B_{\varepsilon} (x,y) \subset \mathbb{R}^2$ e $A \subset P_1 \subset P$, $A$ é aberto em $P$.