Para provar que o plano de Niemytski é Hausdorff precisamos analisar os três casos a seguir. Em todos eles considere a topologia do espaço de Niemytski.

Caso 1

Sejam $(x,y)$, $(u,v) \in P$, $(x,y) \neq (u,v)$ onde $y>0$ e $v>0$. Defina $\varepsilon :=||(x,y)-(u,v)||$, norma provinda da distância euclidiana.

Defina também uma vizinhança aberta básica em $(x,y)$ como a seguinte bola aberta usual em $\mathbb{R}^2$, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$ que não intercepta o eixo $x$.

Considere a vizinhança do ponto $(u,v)$ como a seguinte bola aberta usual em $\mathbb{R}^2$, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v)$ que não intercepta o eixo $x$.

Suponha, por absurdo, que existe $(a,b)$ tal que $(a,b) \in B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cap B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v)$.

Assim:

$||(x,y)-(u,v)||=||(x,y)-(a,b)+(a,b)-(u,v)|| \leq ||(x,y)-(a,b)||+||(u,v)-(a,b)|| < \frac {\varepsilon}{3} + \frac {\varepsilon}{3}=\frac {2 \varepsilon}{3}$

Absurdo, pois $||(x,y)-(u,v)||=\varepsilon$.

Portanto, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cap B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v) = \emptyset$.

Caso 2

Sejam $(x,0)$, $(u,v) \in P$, $(x,0) \neq (u,v)$ onde $v>0$. Defina $\varepsilon := ||(x,0)-(u,v)||$, norma provinda da distância euclidiana.

Defina também uma vizinhança aberta básica de $(x,0)$ como a seguinte bola aberta usual de $\mathbb{R}^2$, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,\frac {\varepsilon}{3})$ unida ao ponto $(x,0)$.

Considere a vizinhança aberta básica de $(u,v)$ como a seguinte bola aberta usual de $\mathbb{R}^2$, ${\frac {\varepsilon}{3}} (u,v)$ que não intercepta o eixo $x$.

Suponha, por absurdo, que existe $(a,b)$ tal que $(a,b) \in (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cup (x,0)) \cap B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v)$.

Assim:

$||(x,0)-(u,v)||=||(x,0)-(a,b)+(a,b)-(u,v)|| \leq ||(x,0)-(a,b)||+||(u,v)-(a,b)|| < \frac {\varepsilon}{3} + \frac {\varepsilon}{3}=\frac {2 \varepsilon}{3}$

Absurdo, pois $||(x,0)-(u,v)||=\varepsilon$.

Portanto, $(B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cup (x,0)) \cap B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v) = \emptyset$.

Caso 3

Sejam $(x,0)$, $(u,0) \in P$, $(x,0) \neq (u,0)$. Defina $\varepsilon := ||(x,0)-(u,0)||$, norma provinda da distância euclidiana.

Defina também uma vizinhança aberta básica de $(x,0)$ como a seguinte bola aberta de $\mathbb{R}^2$, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,\frac {\varepsilon}{3})$ unida ao ponto $(x,0)$.

Considere a vizinhança do ponto $(u,0)$ como a seguinte bola aberta de $\mathbb{R}^2$, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v)$ unida ao ponto $(u,0)$.

Suponha, por absurdo, que existe $(a,b)$ tal que $(a,b) \in (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cup (x,0)) \cap (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v) \cup (u,0))$.

Assim:

$||(x,0)-(u,0)||=||(x,0)-(a,b)+(a,b)-(u,0)|| \leq ||(x,0)-(a,b)||+||(u,0)-(a,b)|| < \frac {\varepsilon}{3} + \frac {\varepsilon}{3}=\frac {2 \varepsilon}{3}$

Absurdo, pois $||(x,0)-(u,0)||=\varepsilon$.

Portanto, $(B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cup (x,0)) \cap (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v) \cup (u,0)) = \emptyset$.