Possui um subespaço discreto fechado de cardinalidade contínuo.

Vamos mostrar que $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$ não enumerável é discreto. Ser espaço discreto é dizer que com a topologia do subespaço tem a topologia discreta.

Sejam $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$ e $X=B_y(x,y)$. Considere a topologia do subespaço $\pi=\{A \cap X:X \in \tau\}$.

Temos dois casos:

• se $X=B_y(x,y),y \neq 0$, então $A \cap X = \emptyset$;
• se $X=B_y(x,y) \cup \{(x,0)\}$, então $A \cap X=\{x\}$.

Ou seja, $\pi$ é uma topologia discreta de cardinalidade contínuo.