Vamos mostrar que o Plano de Niemytski é conexo por caminhos analisando três casos.

(1) $P_1=\{(x,y): x,y \in \mathbb{R}^2, y>0\} \subset P$ é conexo por caminho, pois $\mathbb{R}^2$ é conexo por caminhos e a topologia induzida. sobre $P_1$ por $P$ e $\mathbb{R}^2$ é a mesma. Daí, por quaisquer dois pontos distintos pertencentes a $P_1$ teremos um caminho.

(2) Sejam $(x,0)$, $(u,v) \in P$, pontos distintos com $u>0$. Queremos mostrar que existe um caminho entre eles.

Tome $B=B_{\varepsilon}(x,\varepsilon) \cup \{(x,0)\}$, para todo $\varepsilon >0$, aberto básico de $P$ em $(x,0)$ e o ponto $(x,1) \in P$. Considere a função $f:[0,1] \longrightarrow P$ dada por $f(t)=(x,t)$ com $t \in [0,1]$. Afirmamos que essa função é continua. Os abertos básicos de $P$ são bolas abertas com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$, abertas em $\mathbb{R}^2$ e $f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^2$ é continua. Se

\begin{equation} f^{-1} [B] = \begin{cases} [0,2 \varepsilon[, \text{ se } \varepsilon < \frac{1}{2}\\ [0,1], \text{ se } \varepsilon \geq \frac{1}{2} \end{cases} \end{equation}

logo $f^{-1} [B]$ é aberto em $[0,1]$.

Se $(x,1)=(u,v)$, então temos um caminho de $(x,0)$ a $(u,v)$. Mas se $(x,1) \neq (u,v)$, existe um caminho $g:[0,1] \longrightarrow P$ de $(x,1)$ a $(u,v)$. Assim,

\begin{equation} l(t) = \begin{cases} f(2t) \text{, se } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ g(2t-1)\text {, se }\frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases} \end{equation}

Como temos

$l(0)=f(2.0)=f(0)=(x,0)$

$l(\frac{1}{2})=f(2.\frac{1}{2})=f(1)=(x,1)= g(0)$

$l(1)=g(1)=(u,v)$,

então $l(t)$ é um caminho de $(x,0)$ a $(u,v)$.

(3) Sejam $(x,0)$, $(u,0) \in P$, pontos distintos. Queremos mostrar que existe um caminho entre eles.

Tome um ponto $(x,1) \in P$. Assim, existem os caminhos $g_1, g_2:[0,1] \longrightarrow P$ de $(x,0)$ a $(x,1)$ e de $(x,1)$ a $(u,0)$ respectivamente. Desse modo, se

\begin{equation} f(t) = \begin{cases} g_1(2t), \text{ se } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ g_2(2t-1), \text{ se } \frac{1}{2}\leq t \leq 1 \end{cases} \end{equation}

Assim, temos

$f(0)=g_1(0)=(x,0)$

$f(\frac{1}{2})= g_1(1)=(x,1)= g_2(0)$

$f(1)=g(1)=(u,v)$,

então $f(t)$ é um caminho de $(x,0)$ a $(u,0)$.