O plano de Niemytski tem base local enumerável.

Seja $(x,y) \in P$ ($y \geq 0$). Vamos dividir em dois casos:

Caso 1: $y >0$.

Defina $\mathcal{V} \doteq \left\{B_{\frac{1}{n}}\left(x,y\right); \text{ com } n \in \mathbb{N} \text{ e } \frac{1}{n} < y \right\}$ onde $B_{\frac{1}{n}}(x,y)$ é a bola com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$. Para todo $V=B_{\frac{1}{n}} (x,y) \in \mathcal{V}$, $V$ é vizinhança aberta enumerável de $(x,y)$ pela definição da topologia do plano de Niemytski. Para todo $A=B_{\frac{2}{n}} (x,y) \subset P$ aberto tal que $(x,y) \in A$, existe $V \in \mathcal{V}$ tal que $(x,y) \in V \subset A$. Daí, $\mathcal{V}$ é um sistema fundamental de vizinhanças abertas enumeráveis de $(x,y)$. Como todos os elementos de $\mathcal{V}$ são abertos enumeráveis, $\mathcal{V}$ é base local enumerável para $(x,y)$.

Caso 2: $y =0$.

Defina $\mathcal{V} \doteq \left\{B_{\frac{1}{n}}\left(x,\frac{1}{n}\right); \text{ com } n \in \mathbb{N} \right\} \cup \{(x,0)\}$ onde $B_{\frac{1}{n}}(x,\frac{1}{n})$ é a bola com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$. Para todo $V=B_{\frac{1}{n}} (x,\frac{1}{n}) \cup (x,0) \in \mathcal{V}$, $V$ é vizinhança aberta enumerável de $(x,0)$ pela definição da topologia do plano de Niemytski. Se $A=B_{\frac{2}{n}} (x,\frac{2}{n}) \cup (x,0) \subset P$ é aberto, tal que $(x,0) \in A$, existe $V \in \mathcal{V}$ tal que $(x,0) \in V \subset A$. Daí, $\mathcal{V}$ é um sistema fundamental de vizinhanças abertas enumeráveis de $(x,0)$. Como todos os elementos de $\mathcal{V}$ são abertos enumeráveis, $\mathcal{V}$ é base local enumerável para $(x,0)$.

Em qualquer caso, o plano de Niemytski admite para cada ponto o sistema fundamental de vizinhanças aberta $\mathcal{V}$. Portanto, tem base local enumerável para cada ponto do plano.

Veja também:

* Primeiro axioma de enumerabilidade - Bases locais enumeráveis