Para cada $x \in \mathbb{R}$, considere $\mathcal{B}_{x} = \{]x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}[ : n \in \mathbb{N}_{>0}\} \cup \{\{x\}\}$. Note que $\mathcal{B}_{x}$ é enumerável e cada um de seus elementos é aberto na topologia $\tau_{M}$ contendo $x$. Agora, seja $U \in \tau_{M}$ tal que $x \in U$. Por definição, existem $A \in \tau$ (topologia usual em $\mathbb{R}$) e $B \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ tais que $U = A \cup B$. Se $x \in B$ basta tomar $\{x\} \in \mathcal{B}_{x}$. Caso contrário, seja $\epsilon > 0$ tal que $]x - \epsilon, x + \epsilon[ \subset A$, então existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n} < \epsilon$ e portanto $]x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}[ \subset ]x - \epsilon, x + \epsilon[ \subset A$.