Pela definição, o próprio espaço Hilbert $H$ é um espaço métrico com métrica $d$.

Bom, de maneira geral se $(X,d)$ é um espaço métrico, isto é, se $X$ é um conjunto e $d$ é uma métrica em $X$, então $d$ induz uma topologia $\tau_d$ em $X$. Ou seja, ao começar com um espaço métrico $(X,d)$ o espaço topológico $(X,\tau_d)$ é induzido.

Obs: Com abuso de linguagem, “um espaço métrico é metrizável”.