Basta notar que se um espaço é completo e totalmente limitado, ele é compacto.

Também, sabemos que um espaço métrico é separável se, e somente se, for homeomorfo a um espaço métrico totalmente limitado (pré-compacto).

Obs: um conjunto é dito pré-compacto se seu fecho é um conjunto compacto.

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Bom, vimos que o espaço de Hilbert é separável, então conseguimos construir esse homeomorfismo com um espaço métrico pré-compacto. E pela própria definição, o espaço de Hilbert é completo, então, temos o resultado.