Considere o espaço vetorial $C([0,1],\mathbb{R}):=\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}:f\text{ é contínua nas topologias usuais de }[0,1]\text{ e }\mathbb{R}\}$. Defina:
$$|\cdot|:C([0,1],\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$$
$$f\mapsto \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|$$
tal função faz sentido, pois pelo Teorema de Weierstrass, toda função em $C([0,1],\mathbb{R})$ admite ponto de máximo (note que o valor absoluto de $f$ também é contínua). Além disso, $|\cdot|$ é uma norma em $C([0,1],\mathbb{R})$; de fato, dadas $f,g\in C([0,1],\mathbb{R})$ e $\lambda \in \mathbb{R}$, pelas propriedades do supremo de um conjunto de números reais:
i) $|f|=0\Rightarrow |f(x)|\le 0\ \forall x\in [0,1]\Rightarrow f=0$ e $|f(x)|\ge 0\ \forall x\in [0,1]\Rightarrow 0\le \inf_{x\in [0,1]} |f(x)|\le \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|=|f|$;
ii) $|f+G|=\sup_{x\in [0,1]} |f(x)+g(x)|\le \sup_{x\in [0,1]} \left(|f(x)|+|g(x)|\right)\le \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|+\sup_{x\in [0,1]} |g(x)|=|f|+|g|$;
iii) $|\lambda f|=\sup_{x\in [0,1]} |\lambda f(x)|=\sup_{x\in [0,1]} |\lambda|\cdot |f(x)|=|\lambda|\cdot \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|=\lambda|\cdot |f|$.
Tal norma induz uma métrica em $C([0,1],\mathbb{R})$ dada por $d(f,g)=|f-g|$; de fato, se $f,g,h\in C([0,1],\mathbb{R})$:
i) $d(f,g)=0\iff |f-g|=0\iff f-g=0\iff f=g$ e $d(f,g)=|f-g|\ge 0$;
ii) $d(f,g)=|f-g|=|(-1)\cdot (g-f)|=|g-f|=d(g,f)$;
iii) $d(f,h)=|f-h|=|(f-g)+(g-h)|\le |f-g|+|g-h|=d(f,g)+d(g,h)$.