Lembrando que $X = \mathbb{N} \cup \{ \infty \}$. Para cada $n \in \mathbb{N}$, $\mathcal{V}_n = \{ \{n \} \}$ é uma base local enumerável para $n$. De fato, claramente $\{ n \}$ é aberto e se $A \subset X$ é um aberto tal que $n \in A \Rightarrow n \in \{n\} \subset A$. Considere $$\mathcal{V}_{\infty} = \{ X \setminus \{ k \in \mathbb{N} \,\, | \,\, k \leq j \} \}_{j \in \mathbb{N}}. $$ Para cada $j \in \mathbb{N}$, claramente $\infty \in X \setminus \{ k \in \mathbb{N} \,\, | \,\, k \leq j\}$ e $X \setminus \{ k \in \mathbb{N} \,\, | \,\, k \leq j\} = \{ \infty\} \cup (\mathbb{N} \setminus \{ k \in \mathbb{N} \,\, | \,\, k \leq j\})$ onde $\mathbb{N} \setminus (\mathbb{N} \setminus \{ k \in \mathbb{N} \,\, | \,\, k \leq j\}) = \{ k \in \mathbb{N} \,\, | \,\, k \leq j\} $ é finito. Assim, os conjuntos de $\mathcal{V}_{\infty}$ são abertos. Seja agora $A \subset X$ aberto tal que $\infty \in A$, como apenas uma quantidade finita de elementos de $\mathbb{N}$ não pertence a $A$, temos que existe $F \subset \mathbb{N}$ finito tal que $A = X \setminus F$. Tome $j_0 = \max \{F \cup \{1\}\}$, então $F \subset \{ k \in \mathbb{N} \, \, | \, \, k \leq j_0 \} \Rightarrow \infty \in X \setminus \{ k \in \mathbb{N} \, \, | \, \, k \leq j_0 \} \subset X \setminus F = A$. Isso mostra que $\mathcal{V}_{\infty}$ é uma base local enumerável para $\infty$. Observe que também mostramos que todo ponto de $X$ admite um sistema de vizinhança fechada pois, $\{ n \}$ é fechado uma vez que $X \setminus \{ n \}$ é aberto , e também $X \setminus (X \setminus \{ k \in \mathbb{N} \, \, | \, \, k \leq j \}) = \{ k \in \mathbb{N} \, \, | \, \, k \leq j \}$ é aberto.