Para todo $ x \in \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ e cada $ n \in \mathbb{N} $ defina

$$ B_{n}^{x} = \bigcap_{k=0}^{n} p_{k}^{-1}[\{x_{k}\}]. $$

Provamos que o conjunto $ \mathcal{B} = \{B_{n}^{x} \mid x \in \{0,1\}^{\mathbb{N}}, n \in \mathbb{N}\} $ é uma base enumerável para $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $.

Primeiramente, $ \mathcal{B} $ é um conjunto enumerável. De fato, $ \mathcal{B} $ é a união enumerável dos conjuntos finitos $ \{B_{n}^{x} \mid x \in \{0,1\}^{\mathbb{N}}\} $.

Agora, tome $ x \in \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ e seja $ x \in V $ um aberto básico, como na definição da topologia produto. Existem $ n_{1}, \cdots, n_{k} \in \mathbb{N} $ distintos e $ b_{1}, \cdots, b_{k} \in \{0,1\} $ tais que

$$ V = p_{n_{1}}^{-1}[\{b_{1}\}] \cap \cdots \cap p_{n_{k}}^{-1}[\{b_{k}\}]. $$

Por construção, $ x \in B_{n}^{x} $ para todo $ n $. Uma vez que $ x \in V $, devemos ter $ x_{n_{i}} = b_{i} $ para todo $ i $. Portanto, para $ n = \max\{n_{1}, \cdots, n_{k}\} $, temos

$$ x \in B_{n}^{x} \subset V. $$

Segue que $ \mathcal{B} $ é uma base para $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $.