Suponha que existam abertos disjuntos $A$ e $B$ tais que $0 \in A$ e $\{\frac{1}{n}:n \in \mathbb{N}\} \subset B$, nessas condições tome $0 < \varepsilon \in \mathbb{Q}$ e $C$ um conjunto enumerável tal que $0 \in (-\varepsilon, \varepsilon) \setminus C \subset A$.

Note que existe $\alpha=\frac{1}{n} \in (-\varepsilon, \varepsilon)$ e para todo $0<\delta \in \mathbb{Q}$ segue que $(-\varepsilon, \varepsilon) \cap (\alpha-\delta, \alpha+\delta) \ne \emptyset$.

Como ambos são intervalos, não existe um conjunto enumerável $E$ que satisfaz $((-\varepsilon, \varepsilon)\setminus C) \cap ((\alpha-\delta, \alpha+\delta)\setminus E) = \emptyset$ e portanto $A \cap B \ne \emptyset \;\;(\Rightarrow \Leftarrow)$.