Seja $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ uma família de abertos densos em $X$. Então para cada $n\in \mathbb{N}$ e conjunto $\{(x,y)\}\subset \mathbb{R}^2$ com $y\in (0,2]$, temos que $A_n$ intersecta $\{(x,y)\}$, por esse conjunto ser aberto, logo $(x,y)\in A_n$. Daí, concluímos que $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \, 0<y\leq 2\}\subset A_n$ para todo $n\in \mathbb{N}$. Logo $V=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \, 0<y\leq 2\}\subset \cap_{n\in \mathbb{N}}A_n$.

Por fim, note que todos os pontos no eixo $x$ e o ponto $p$ são aderentes a $V$ — utilize as bases locais discutidas em Bases para \((X,\tau)\). Isso mostra que $\overline{V}=X$, o que implica que $\cap_{n\in \mathbb{N}}A_n$ é denso em $X$.