Demonstração. Suponha que $C_p(\mathbb{R})$ tenha uma base enumerável, então todo $f\in C_p(\mathbb{R})$ tem uma base local enumerável (devido a que segundo axioma de enumerabilidade implica primeiro axioma de enumerabilidade), o que é absurdo já que $C_p (\mathbb{R})$ não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.