Definição: O espaço $C_p (\mathbb{R})$ denotará o conjunto de funções contínuas de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, com a topologia produto, i.e., é o espaço de todas as funções contínuas de valor real definidas em $\mathbb{R}$ (simbolizado por $C(\mathbb{R})$) dotado da topologia de subespaço herdado do espaço $\mathbb{R}^\mathbb{R}(=\prod_{x\in\mathbb{R}}\mathbb{R})$ com a topologia produto e onde cada $\mathbb{R}$ vem com a topologia usual. A topologia em $C_p(\mathbb{R})$ é chamada de topologia de convergência pontual.
Agora precisamos de um bom controle sobre os conjuntos abertos no espaço funcional $C_p(\mathbb{R})$ a fim de provar resultados no referido espaço. Um conjunto básico aberto no espaço do produto $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ tem a forma $\prod_{x\in \mathbb{R}}U_x$ onde cada $U_x$ é um subconjunto aberto de $\mathbb{R}$ tal que $U_x =\mathbb{R}$ para todos, exceto finitamente muitos $x\in\mathbb{R}$. Assim, um conjunto básico aberto em $C_p(\mathbb{R})$ tem a forma:
$$C(\mathbb{R})\cap\biggl(\prod_{x\in\mathbb{R}} U_x\biggr), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tag1$$
onde cada $U_x$ é um subconjunto aberto de $\mathbb{R}$ e $U_x = \mathbb{R}$ para todos, exceto finitamente muitos $x \in\mathbb{R}$. Além disso, quando $U_x\neq\mathbb{R}$, podemos considerar $U_x$ como um intervalo aberto da forma $(a, b)$.
Para tornar os conjuntos abertos básicos de $C_p(\mathbb{R})$ mais explícitos, $(1)$ é traduzido da seguinte maneira:
$$\bigcap_{x\in F}[x, O_x] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tag2$$ onde $F\subset\mathbb{R}$ é um conjunto finito, para cada $x\in F$, $O_x$ é um intervalo aberto de $\mathbb{R}$, e $[x, O_x]$ é o conjunto de todos os $f\in C(\mathbb{R})$ tal que $f(x)\in O_x$.