Conhecemos o espaço $C(X)\subset \mathbb{R}^{X}$ das funções reais contínuas definidas em um espaço topológico $X.$ A seguir, veremos uma das mais naturais topologias associadas a $C(X)$, a topologia da convergência pontual $\tau_p.$ Recebe esse nome pelo fato de que uma sequência $(f_n)$ converge para $f$ em $(C(X),\tau_p)$ se e somente se $f_n(x)\rightarrow f(x)$ para todo $x\in X.$ Sejam $A\subset X$ finito e $\varepsilon>0$, os conjuntos da forma

$$V(f,A,\varepsilon)=\{g\in C(X);~|g(x)-f(x)|<\varepsilon~\text{para todo}~x\in A\},$$ formam uma base de vizinhanças para essa topologia. A topologia da convergência pontual é induzida pela [topologia produto] de $\mathbb{R}^{X}.$ De fato, podemos escrever cada aberto básico $V(f,A,\varepsilon)$ como

$$V(f,A,\varepsilon)=C(X)\cap \bigcap_{\alpha \in [0,1]} \pi_{\alpha}^{-1}(U_\alpha),$$ onde $U_\alpha=(f(\alpha)-\varepsilon, f(\alpha)+\varepsilon)$ são abertos básicos de $\mathbb{R}$ para todo $\alpha \in A,$ e $U_\alpha=\mathbb{R}$ se $\alpha\not\in A.$

No que se segue, vamos usar a notação $C_{p}(X)$ para referir ao espaço topológico $(C(X),\tau_p)$. Note que toda função de $\mathbb{R}^{X}$ pode ser aproximada por funções contínuas, em outras palavras, $C_p(X)$ é denso em $\mathbb{R}^X.$

Demonstração. Seja $X$ um espaço de Tychonoff e seja $U=\cap_{\alpha \in [0,1]} \pi_\alpha^{-1}(U_\alpha)$ um aberto básico de $\mathbb{R}^X$, onde o conjunto $A\subset [0,1],$ tal que $U_\alpha\not= \mathbb{R}$, é finito. Tome um número real $r_{\alpha}\in U_\alpha$ para todo $\alpha\in A.$ Então existe uma função contínua $f: X\rightarrow \mathbb{R}$ tal que para cada $\alpha \in A$ temos $f(\alpha)=r_\alpha\in U_{\alpha},$ logo $f\in U\cap C_{p}(X).$ $~~~~~~~~~~~\square$

Na verdade o resultado acima pode ser melhorado. Em MCCOY [2], Lema 2.1 podemos ver que $C_{p}(X)$ é denso em $\mathbb{R}^{X}$ se e somente se $X$ é completamente Haussdorff.

Estudaremos o conjunto $C_p(X)$ para o caso $X=[0,1].$

• Satisfaz $T_0$.
• Satisfaz $T_1$.
• Satisfaz $T_2$.
• Satisfaz $T_3$.
• Satisfaz $T_4$, logo é normal (mais ainda, é coletivamente normal).
• Satisfaz $T_{3\frac12}$, logo é completamente regular.

$$~$$

• Não é primeiro contável, logo não é segundo contável.
• É separável.

$$~$$

• Não é compacto.
• Não é localmente compacto.
• É Lindelöf.
• É paracompacto.

$$~$$

• É conexo por caminhos, logo é conexo.

$$~$$

• Não é metrizável.
• É CCC (condição de cadeia contável).
• É contrátil.
• Não é de Baire.

[1] MAUÉS, B. Uma introdução à $C_{p}(X).$ 2015. 68f. Dissertação (Mestrado em Matemática)-Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo.

[2] LUTZER, D.; MCCOY, R. Category in function spaces. I. 1980. 145-168. Pacific Journal of Mathematics.

[3] MICHAEL, E. A Note on Paracompact Spaces. 1953. 831-838. Proceedings of the American Mathematical Society.