Se $X$ é um espaço topológico contrátil, então é conexo por caminhos.
Demonstração. Considere $H:X\times [0,1]\rightarrow X$ uma homotopia entre $Id_X$ e a aplicação constante $X\rightarrow \{p\},$ para todo $p\in X.$ Logo para cada ponto $x\in X,$ a aplicação $t\rightarrow H(x,t)$ define um caminho que liga $x$ a $p.$ $~~~~~~\square$
Com isso, fica fácil provar nosso objetivo.
Demonstração. Pelo fato de que $C_{p}([0,1])$ é contrátil, temos que é conexo por caminhos, logo também é conexo. $~~~~~~~\square$