• Para começar, observe que se \(J\subset A_x\) é infinito, temos que \((x,0)\in \bar{J}\) (usando a base local de \((x,0)\) apresentada em Bases para \((X,\tau)\)).
• Suponha que \(g:S\rightarrow \mathbb{R}\) seja contínua e \(g((x,0))=0\) para algum \(x\in \mathbb{R}\). Afirmo que o conjunto \(J_n=g^{-1}([\frac{1}{n}, \infty)) \bigcap A_x\) possui no máximo finitos pontos. De fato, se o conjunto \(J_n\subset A_x\) é infinito, então \((x,0)\in \bar{J_n}\). Considere então a vizinhança \(B=(\frac{-1}{2n}, \frac{1}{2n})\) de \(g((x,0))=0\), e observe que qualquer vizinhança de \((x,0)\) intersecta \(J_n\), logo possui pontos que são levados pela \(g\) em valores fora de \(B\). Isso contraria o fato que \(g\) é contínua em \((x,0)\). Analogamente, qualquer conjunto \(G_n=g^{-1}([-\frac{1}{n}, -\infty)) \bigcap A_x\) é finito. Então o conjunto de todos os pontos \(a\in A_x\) tais que \(g(a)\neq 0\) é enumerável (pois é união de todos os conjuntos \(J_n\) e \(G_n\), \(n\in \mathbb{N}\)).
• Se \(g:S\rightarrow \mathbb{R}\) é contínua e \(g(a)=0\) para infinitos \(a\in A_x\), vale que \((x,0)\) é ponto de aderência do conjunto de zeros da função \(g\) em \(A_x\). Se \(g((x,0))\neq 0 \), existe uma vizinhança de \(g((x,0))\) que não contém o zero, e qualquer aberto contendo \((x,0)\) contém pontos onde \(g\) vale zero. Isso contradiz a continuidade da \(g\). Segue que \(g((x,0))=0\).

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• Note que \(I_0\) é fechado, pois \(X\setminus I_0= \left ( \underset{z\notin [0,1]}{\bigcup}A_z \right ) \bigcup \left ( \{p\} \bigcup U_2 \right ) \bigcup \left ( \underset{\underset{x\in \mathbb{R}}{0<y\leq 2}}{\bigcup} \{(x,y)\} \right )\), o que é um aberto.
• Seja \(f:S\rightarrow \mathbb{R}\) uma função contínua. Suponha que exista um conjunto infinito de pontos da forma \((x,0)\in I_n=[n,n+1]\times \{0\}\) tais que \(f((x,0))=0\). Seja \(Z=\{(x_k,0): k\in\mathbb{N}\}\) um subconjunto enumerável de tais pontos. Para cada \(k\in \mathbb{N}\), sabemos que \(g\) difere de zero para no máximo enumeráveis pontos de \(D_{x_k}\subset A_{x_k}\). Seja \(E_k\subset D_{x_k}\) o conjunto enumerável desses pontos onde \(f\) pode ter valor diferente de zero, e temos que \(f(x)=0\) para \(x\in D_{x_k}\setminus E_k\).
• Tome o conjunto das primeiras coordenadas dos pontos de \(E_k\): \(J_k=\{x:(x,y) \in E_k \text{ para algum } y\}\). Claramente esse conjunto é enumerável.
• Considere \(J=[n+1,n+2]\setminus \underset{k\geq 1}{\bigcup} J_k\). Note que o complementar do conjunto \(J\times \{0\}\) em \(I_{n+1}\) está contido em \(\underset{k\geq 1}{\bigcup} J_k \times \{0\}\), logo é enumerável. Daí, \(J\times \{0\}\) contém infinitos (não-enumeráveis) elementos.
• Fixe um \((x,0)\in J\times \{0\}\). Note que para cada \(k\in \mathbb{R}\), o conjunto \(D_{x_k}\) intersecta \(V_x\) em um ponto diferente. Nesse ponto de intersecção \(a_k\), se \(f(a_k)\neq 0\), teríamos \(a_k\in E_k\), donde \(x\in J_k\), o que implicaria que \((x,0) \notin J \times \{0\}\). Daí, temos que \(f(a_k)=0\) para cada um dos infinitos pontos de interseção de \(D_{x_k}\) com \(V_x\), \(k=1, 2, \ldots\). Daí, existem infinitos pontos em \(A_x\) onde \(f\) se anula, donde \(f((x,0))=0\).
• Daí, resulta que existem infinitos pontos em \(I_{n+1}\) onde \(f\) vale zero. Precisamente, os pontos de \(J \times \{0\}\). Nós acabamos de provar que se \(I_n\) possui infinitos pontos onde \(f\) se anula, o mesmo vale para \(I_{n+1}\). Então, se \(I_0\) possui infinitos zeros de \(f\), o mesmo vale para \(I_k\) para qualquer \(k\in \mathbb{N}\), por indução.

Desenho ilustrando a construção acima. Note que se \((x,0)\in J\times \{0\})\), o segmento de reta \(V_x\) intersecta cada conjunto \(D_{x_i}\) em um ponto diferente, e nenhum desses pontos pertencem ao \(E_i\) respectivo. Por construção, \(f\) se anula em todos esses pontos de interseção.

• Seja então \(f:X\rightarrow [0,1]\) função contínua tal que \(f(I_0)=0\). Note que a restrição de \(f\) a \(S\) também é contínua e vale zero em \(I_0\), logo podemos aplicar o raciocínio anterior e concluir que existem valores de \(x\) arbitrariamente grandes tais que \(f\) se anula em \((x,0)\).
• Se \(f(p)=1\), considere a vizinhança \(V=(\frac{-1}{2},1]\) de \(f(p)\) em \([0,1]\). Qualquer vizinhança de \(p\) contém um conjunto \(U_n\) para algum \(n\) (ver Bases para \((X,\tau)\)), logo contém pontos da forma \((x,0)\) onde \(f((x,0))=0\notin V\). Isso contradiz que \(f\) é contínua em \(p\).
• Concluímos que \(p\) e \(I_0\) não podem ser separados por uma função contínua. Daí, \((X,\tau)\) não é \(T_{3\frac{1}{2}}\), logo não é completamente regular.