Um espaço topológico é \(T_3\) se, e somente se, todo ponto admite um sistema fundamental de vizinhanças fechadas (veja regular). Seja \((x,y)\in X\).

Defina \(\mathcal{B}'=\{\{(x,y)\}: (x,y)\in S \text{, e } y>0\} \bigcup \{A_x\setminus F : x\in \mathbb{R} \text{, e } F \text{ é finito e não contém } (x,0)\}\). Os elementos de \(\mathcal{B}'\) são abertos e fechados nas topologias de \(S\) e de \(X\), e formam uma base de \(S\) (ver S é zero-dimensional).

Se \((x,y)\in S\), considere a subfamília \(\mathcal{B}'_{(x,y)}\) formada por todos os elementos de \(\mathcal{B}'\) que contêm \((x,y)\). Esses elementos são abertos e fechados em \(X\), e se \(A\) é aberto em \(X\) que contém \((x,y)\), é fácil ver que existe um elemento \(B\in \mathcal{B}'\) tal que \((x,y)\in B\subset A\). De fato, o caso \(y>0\) é trivial e se \(y=0\), temos que os conjuntos da forma \(A_x\setminus F\) com \(F\) finito e \((x,0)\notin F\) formam uma base local de \((x,0)\). Daí segue que \(\mathcal{B}'_{(x,y)}\) é base local de conjuntos fechados para \((x,y)\).

Agora vamos mostrar que \(p\) também admite um sistema fundamental de vizinhanças fechadas. Primeiro, note que \(p\) é fechado pois seu complementar, \(S\), é aberto.

Para cada \(m\in \mathbb{N}\), defina o conjunto \(V_m=S \setminus \underset{x< m}{\bigcup} A_x \), e considere a coleção de fechados \(\mathcal{V}_p=\{V_m \bigcup \{p\} : m\in \mathbb{N}\}\). Afirmo que \(\mathcal{V}_p\) é um sistema fundamental de vizinhanças para \(p\). Os elementos são vizinhanças de \(p\) porque se \(n>m+2\), temos que \(p\in U_n\bigcup \{p\}\subset V_m\bigcup \{p\}\), e se \(A\) é aberto contendo \(p\), existe \(n\in \mathbb{N}\) tal que \(U_n \bigcup \{p\} \subset A\) (ver Bases para \((X,\tau)\)), e escolhendo \(m>n\), temos \(p\in V_m\bigcup \{p\} \subset A\).

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Como \((X,\tau)\) é Hausdorff, temos que \((X,\tau)\) é \(T_1\). Disso segue que \(X\) é regular.