Precisaremos do seguinte resultado:

Como $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ não é $T_{2}$, basta mostrarmos que nenhuma sequência em $\mathbb{Q}^{*}$ converge para mais de um ponto. Seja $\left( x_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência convergente em $\mathbb{Q}^{*}$. Temos dois casos a considerar.

Se $\left( x_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ não converge para nenhum ponto em $\mathbb{Q}$, então $x_{n} \rightarrow p$ e $p$ é o único limite da sequência.

Suponha que $x_{n} \rightarrow x \in \mathbb{Q}$. Note que podemos considerar sem perda de generalidade $x_{n} \in \mathbb{Q}, \forall n \in \mathbb{N}$. Defina $S = \{ x_{n} : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ x \}$. Como $S$ é um compacto de $\mathbb{Q}$, então $S^{C}$ é uma vizinhança aberta de $p$ disjunta de $S$. Portanto, $p \notin \overline{ \{ x_{n} : n \in \mathbb{N} \} }$ e, logo, a sequência não converge para $p$. Além disso, como $\mathbb{Q}$ é $T_{2}$, a sequência não converge para nenhum ponto de $\mathbb{Q}$ distinto de $x$. Portanto seu limite é único.

Isto finaliza a demonstração de que $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ não satisfaz o primeiro axioma de enuerabilidade. Como satisfazer o primeiro axioma é condição necessária para o segundo, segue também que $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ não satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

$\square$

De fato, note que $\mathbb{Q}$ é aberto em $\mathbb{Q}^{*}$, pois $\mathbb{Q} = \{ p \}^{C}$ e $\{ p \}$ é fechado em $\mathbb{Q}^{*}$ visto que $\mathbb{Q}^{*}$ é $T_{1}$. Além disso, $\mathbb{Q}$ não é fechado, pois, caso fosse, $\{ p \}$ seria aberto e, pela definição de $\tau^{*}$, $\mathbb{Q} = \{ p \}^{C}$ deveria ser compacto. Disso, concluímos que $\mathbb{Q}^{*}$ é o único fechado que contém $\mathbb{Q}$. Logo, $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{Q}^{*}$, isto é, $\mathbb{Q}$ é um denso enumerável de $\mathbb{Q}^{*}$.

$\square$

• $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ é $T_{0}$ e $T_{1}$, mas não satisfaz nenhum outro axioma de separação