Dados $p,q \in \mathbb{Z^2_+}$ com $p \neq q$. Note que, necessariamente, um dos pontos é diferente da origem e assim ao menos um deles é aberto. Podemos supor, sem perdas, $p$ aberto, então $p \in \{p \}$ e $q \notin \{p\}$. Portanto, $(\mathbb{Z^2_+},\tau)$ é $T_0$.