Tome $F,G \subset (\mathbb{Z^2_+},\tau)$ fechados disjuntos e suponha que $(0,0)\notin F$. Podemos afirmar que $F$ é aberto, pois $F\bigcup_{p\in \mathbb{Z^2_+}\setminus \{(0,0)\}}\{p\}$, ou seja, uma união de abertos. Então note que $G\subset \mathbb{Z^2_+}\setminus F \in \tau, F\in \tau$ e $\mathbb{Z^2_+}\setminus F \cap F = \emptyset$. Portanto, $(\mathbb{Z^2_+},\tau)$ é normal.