Dado $p \in \mathbb{Z^2_+}\setminus\{(0,0)\}$ e $F\ \subset \ X $ que não contém $p$. Note que $\{p \}$ e $\mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\}$ são abertos disjuntos contendo $p$ e $F$ respectivamente. Observe que é análogo para o caso $p=(0,0)$. Portanto, $(\mathbb{Z^2_+},\tau)$ é $T_3$.
Sendo assim, como também satisfaz $T_1$, é regular.