Dados $p,q \in \mathbb{Z^2_+}$ com $p \neq q$. Necessariamente um dos pontos é diferente da origem e assim ao menos um deles é aberto. Podemos supor, sem perdas, $p=(m_p,n_p)$ aberto, então $p \in \{p \}$ e $ q \in \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\}$. Note que, $$ (0,0) \in \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\},$$ $$Y_{m_p}= \{ n\ |\ (m_p,n) \notin \mathbb{Z^2_+}\setminus \{(m_p,n_p)\}\ = \{ n_p \}$$ e $$Y_{m \neq m_p} = \{ n\ |\ (m,n) \notin \mathbb{Z^2_+}\setminus \{(m_p,n_p\}\}\ = \emptyset$$ Logo, $\{p\},\ \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\} \in \tau$. Portanto, $(\mathbb{Z^2_+},\tau)$ é $T_1$.