Seja $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma função constante. Considere a função $H:[0,1]^{\mathbb{N}}\times[0,1]\rightarrow[0,1]^{\mathbb{N}}$ dada por $H((x_n)_n,t)=((1-t)x_n+tc_n)_n$.

Como $[0,1]$ é convexo, $(1-t)x_n+tc_n\in[0,1]$ para todo $n$, donde $((1-t)x_n+tc_n)_n\in[0,1]^{\mathbb{N}}$, então $H$ está bem definida. Ademais, cada coordenada de $H$ é contínua. Note que $H((x_n)_n,0)=(x_n)_n$ e $H((x_n)_n,1)=(c_n)_n$. Logo $H$ é homotopia entre $Id_{[0,1]^{\mathbb{N}}}$ e $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Basta considerar a métrica completa $$\tilde{d}((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{d(x_n,y_n)}{2^{n+1}},$$ em que $d(x,y)$ é a métrica completa usual sobre $[0,1]$.

Segue de ser espaço de Hausdorff compacto. Demo.

Basta notar que $[0,1]^{\mathbb{N}}$ não pode admitir base de abertos fechados porque, sendo conexo, tem apenas $\emptyset$ e $[0,1]^{\mathbb{N}}$ como abertos fechados.