Segue de $[0,1]\subset\mathbb{R}$ ser intervalo.

Segue de ser localmente conexo por caminhos.

Segue de $[0,1]\subset\mathbb{R}$ ser intervalo. Demo.

Também segue de ser conexo e localmente conexo por caminhos. Demo.

Seja $x\in[0,1]$. Note que $\mathcal{B}=\{]x-\epsilon,x+\epsilon[\cap[0,1]:\epsilon>0\}$ é base local para $x$. Ademais, seus elementos são intervalos, ou seja, convexos, e assim, conexos por caminhos. Disso vem $\mathcal{B}$ conexa por caminhos, e segue o resultado.