Considere o conjunto $X = [0,1[\cup[2,3[$.
a) Considerando $X$ como subespaço de $\mathbb{R}$, note que $2\notin \overline{[0,1[}$, pois existe um aberto $A=]1,3[$ de $\mathbb{R}$ tal que $2 \in A$ e $A \cap [0,1[=\emptyset$, isto é, $2$ não é ponto aderente de $[0,1[$.
b) Vamos mostrar que, se considerarmos $X$ com a topologia da ordem (usando a sua ordem usual), teremos que $2\in\overline{[0,1[}$. Seja $A$ um aberto qualquer da topologia da ordem de $X$ tal que $2\in A$. Devemos mostrar que $A \cap [0,1[ \neq \emptyset$. Note que $\mathcal B = \{]-\infty,b[ : b\in X\} \cup \{]a,b[:a,b \in X\} \cup \{]a,+\infty[:a\in X\}$ é base para $X$ com a topologia da ordem. Portanto, ocorre algum dos seguintes três casos:
Como em todos os casos, mostramos que $A \cap [0,1[\neq \emptyset$, então $2\in\overline{[0,1[}$.
c) Perceba que os fatos de “descer para subespaço” e “tomar a topologia da ordem induzida” não comutam, pois, no item (a), tomamos a topologia de ordem induzida dos reais e depois descemos para o subespaço $X$ e obtemos que $2\notin\overline{[0,1[}$. Já no item (b), fizemos o caminho inverso, consideramos o subespaço $X$ dos reais e depois tomamos a topologia de ordem induzida de $X$ e, neste caso, obtemos que $2\in\overline{[0,1[}$. Perceba então que inverter a ordem destes processos resulta em abertos diferentes (ou, como mostrado, fechos diferentes).